「数学の勉強に毎日取り組んでいるのに成績が上がらない。」
それは日々の勉強方法が間違っているからかもしれません。
本記事を見てくれている人のほとんどは「数学力を伸ばしたい」と思っている人たちばかりだと思いますが、そういった方から、
- 数学の勉強に毎日取り組んでいるのに定期テストの点数が上がらない
- 頑張って勉強はしているけど、模試の結果が全然変わらない
- 理解しているつもりなのに、問題演習になると全然解けなくて困っている
といったお悩みの相談がよく届きます。
そこで本記事では、数学の正しい伸ばし方と勉強法について解説します。
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なぜ数学が伸びない（難しいと感じる）のか
数学力が伸びないという問題に対して、
- とにかく机に向かう時間を増やす
- いろんな問題集に手を出す
と、根性論や気合いでなんとかしようとする人は少なくありません。
もちろん、数学力を伸ばす上で学習量を増やすことは重要ですが、これだけでは成績を伸ばすのにかなりの時間がかかってしまいます。
また、よく「数学はセンスだ」と言う人がいますが、そんなことはありません。
数学力を伸ばす上で必要なのはセンスではなく、解法から逆算して答えを導き出す力です。
具体的には、
- 基礎を理解していること
- 解放のパターンを抑えていること
- 演習のときに適切な解法を使いこなせること
が挙げられます。
センスがある人というのは、これらが無意識的に出来ている人のことを指しているのです。
ですから、正しい学習法を身につければ、センス関係なく、効率的に成績アップが目指せます。
最終的には高校受験・大学受験で志望校への合格が大きく近づくので、学んで損することはありません。
ぜひ1日でも早く正しい学習法を実践して、数学力の飛躍的な向上を目指しましょう。
東大毎日塾
うっちー
数学力を伸ばす上で必要なのは解法から逆算して答えを導き出す力！あきらめずに学習していきましょう！
数学の正しい伸ばし方と勉強法
それでは「数学の勉強に毎日取り組んでいるのに定期テストの点数が上がらない」「模試の結果が全然変わらない」と思っている方に向けて、数学力が伸びる学習法を解説していきます。
前提として、数学に限らず、学習を進める際には基礎を身につけてから応用問題に取り組む必要があります。
基礎で解法パターンを学んでから、応用問題を通して解法の使い方を学ぶんですね。
これを踏まえて数学の正しい学習法は、
- 基礎を身につける
- 解法パターンを抑える
- 解法を逆算する練習をする
- 解き間違えた要因を分析する
- 解き直しをする
- 応用問題に取り組む
の6つのステップに分けられます。それぞれについて、具体的に解説していきます。
基礎を身につける
数学力を伸ばす上で一番最初にすべきことは、基礎を身につけることです。
「そんなの知っているよ！」と思う人もいるかもしれませんが、数学力が伸びないほとんどの原因は、基礎が身についていないからと言っても過言ではありません。
ここでいう基礎とは、言葉の定義・重要な定理・よく使う公式などといった教科書レベルの知識のことです。
ここをただの丸暗記ではなく、導出方法やどんな場面で使うのかまで、深く理解しておくことが重要です。
基礎を身に付ける方法は2つあります。
どちらか自分に合った方を試して見てください。
1：スタディサプリ等の映像授業でインプット
特に初めて習う範囲とかは、映像授業がおすすめです。
やっぱり最初は、人から教わっちゃうのが一番わかりやすいんですよね。
ただ、わかっているところを飛ばしにくかったりするので、万能というわけではないです。
また、注意点としては、ただ授業を受けるだけだと、問題が解けるようにはならないということです。
数学が苦手な人はアウトプットの量が圧倒的に足りていないので、映像授業を使う時は必ず付属の問題を解くか、別途基礎レベルの問題集を買って解いていくようにしてください。
2：講義形式の参考書でインプット
映像授業よりも自分でじっくり理解したい人は講義形式の参考書でのインプットがおすすめです。
個人的には、自分のペースで考えながら理解していきたい人だったので、映像授業よりもこっちの方が好きでしたね。
例えば「やさしい高校数学」とかは、図解が豊富で初めてでも分かりやすく書かれているのでとてもおすすめです。
上の二つは学校の授業で習ったけど、全然理解できなかった場合に、市販のインプット教材を使って基礎を身に付ける方法ですが、理想をいうと学校の授業で基礎を理解しきっちゃうのが一番ですよね。
そのためには、予習が必ず必要です。
「え、予習って結構大変そう…」って思うかもしれませんが、
最低でも授業の前に教科書や講義形式参考書を読んでおくだけで十分です。
これだけで、予習段階でよく分からなかったことを授業で集中して聞けたり、休み時間に先生や友達に質問できたりするからです。
昔の範囲で苦手がたくさんある人でも、必ず教科書を読むレベルの予習はしておいてください！
ここまでの話をまとめると、基礎を深く理解することが何よりも大事で、そのためには
- 映像授業でインプット
- 講義形式参考書でインプット
- 学校の授業の予習
をやっていきましょう。
こういうと簡単に思えますが、「苦手が多すぎて、どこから手をつければ良いか分からない…」って人もいますよね。
そういう人は、下記のような繋がりをまとめたフローチャートを見て、「次につながる分野」「今の授業に関係する分野」からやっていきましょう。
例えば
- 2次関数
- 確率
- 場合の数
が苦手だったら、まずは2次関数をやるべきです。
なぜかというと、2次関数はその後の「三角関数」「指数対数」「微分積分」など様々な分野に繋がってくるからです。
この考え方を持っていないと、「頑張ってるのに数学全体の成績が上がらない…」となるので注意しましょう。
どこからやれば良いか分からなくなったら、東大毎日塾の無料相談会で弱点分析からやっていくので、遠慮なくご相談ください！
解法パターンを覚える
2つ目は、解法パターン、つまり解き方を抑えることです。
例えば「2次関数y=ax^2+bx+cのグラフとx軸の共有点の個数」を求めるなら「判別式D=b^2-4acが0より大きいか小さいか」で判断する。みたいなものです。
まずは、こういう教科書の例題レベルの問題で良いので、解法パターンをひたすら覚えていく必要があります。
ひたすら覚えるっていうと「いやいや数学って暗記科目じゃないでしょ！」って思うかもしれません。
ただ、この認識は部分的に間違っています。暗記科目と聞くと理科や社会を思い浮かべることが多いと思いますが、数学も解法パターンを覚えるという点においては暗記科目であると言えるのです。
どんなに頭の良い人でも、何もない状態から答えを導き出すことはできません。
数学において、解法パターンは正解に辿り着くマストアイテムなのです。
ちなみに数学のセンスがあると言われる人たちは、頭の中に基本的な解法パターンがストックされていて、それらを使いこなすのが上手い人たちのことを指します。
そのように聞くと「自分には無理だ…」と思うかもしれませんが、心配は不要です。
例え入試問題であっても、基本解法を正しく理解していれば正解にかなり近づけます。
レベルの高い問題ほど、基本解法が複数組み合わさっていたり複雑な形になっていたりするのです。
そのため、使える解法を絞り込んだり、似たような問題を解いたことがないかを考えたりすることで太刀打ちできるようになります。
注意点として「解法パターンの暗記」と言っても、ただの丸暗記では意味がないということです。
なぜその解法で答えが出せるのか、人に説明できるレベルで理解した上で、暗記する必要があります。
さっきの例では「なぜ判別式D＝b^2-4acが0より大きいか小さいかでx軸との共有点の個数が分かるのか」を根本から理解しておく必要があります。
ちょっと時間を置いて考えてみてください。
これから簡単に解説しますが、超ざっくりしてるので、本記事だけで良く分からなくても大丈夫という前提で見ていてください。
まず、こんな感じで平方完成することで、2次関数の頂点のy座標が分かるんです。
頂点のy座標がわかったら、あとはそれが0より小さいかどうかで、x軸との共有点の個数が変わってくるので、そこを見ていけばOKということです。
a>0つまり下に凸の時だけを考えてみます。
①共有点が2個となる条件
x軸との共有点が2個ってことは、頂点のy座標は0より小さいことになります。
つまり、-(b^2-4ac)/4a<0ということですが、これを整理するとb^2-4ac>0つまり判別式D>0となります。
だから、D>0の時は共有点は2個ということですね。
②共有点が1個となる条件
頂点のy座標がピッタリ0なら共有点は1つなので、
-(b^2-4ac)/4a=0になって、
b^2-4ac=0のとき、つまり判別式D=0なら共有点が1つとなります。
③共有点が0個となる条件
同様に頂点のy座標が0より大きければ共有点は0個ですよね。
頂点のy座標が0より大きい
-(b^2-4ac)/4a>0
という条件を整理すると(b^2-4ac)<0 つまり、判別式D<0という条件が出てくるんです。
このようにただの丸暗記ではなく、なぜその解法で答えが出るのかを本当の意味で理解する必要があります。
しっかり理解しようとすると、考えることが多く大変ですよね。
あえて厳しいことをいうと、数学が苦手な人ほど、こういった理由を考えずに、
- D>0なら共有点は2個
- D=0なら共有点は1個
- D<0なら共有点は0個
という形で丸暗記した方が楽じゃん！って単なる暗記に逃げてしまいます。
ただ、その状態だと共通テストや2次試験で応用問題が出された時に全然対応できなくなってしまうんですね。
例えば、今回は2次関数とx軸なので、判別式の丸暗記でも解けますが、3次関数、4次関数とかもっと複雑な関数になってきます。
そういう時にも対応するために、このグラフで考える解き方が重要になります。
長くなったのでまとめると、数学力を上げる上で大事なことの2つ目が、根本からしっかりと理解した上で解法パターンを覚えることです。
ちなみに、この解法パターンの暗記の段階で使う教材は、基礎網羅系問題集がおすすめです。
例えば、学校で配られるチャート式とかフォーカスゴールドみたいな問題集です。
自分が持ってる教材で大丈夫かな？と不安な場合は東大毎日塾の無料相談でぜひご相談ください。
解法を逆算する練習をする
3つ目は、解法を逆算する練習をすることです。
実は、数学が苦手な人ほど、問題演習になると手が止まりがちです。身に覚えがある人もいるのではないでしょうか。
問題を解く上で重要なのは、答えまでの道筋を逆算することです。
問われていることやそれを求めるには何が必要なのかを絞り込んでいくことで、正解に辿り着くルートが見えてくるのです。
もう少し具体的に説明しましょう。
まず、問われていることをAとします。
Aを求めるためにはBが必要であり、Bについてもはっきりと分かっていません。
そこでBを求めるためにはCが必要になるのですが、Cは問題の条件からすぐに分かります。
それでは、まずは与えられた条件をCに書き換えてみようみたいな感じですね。
例えば、さっきは2次関数とx軸（y＝0）との共有点の個数の話をしましたが、2次関数と1次関数の共有点の個数を求める問題もあります。
例えば、こんな問題を考えてみましょう。
例：2次関数y=ax^2+bx+cと1次関数y=2x+1の共有点の個数を求めよ。
純粋に図に表すとこういうことですよね。
x軸との共有点の個数は頂点のy座標で判断できたけど、斜めの直線との共有点となると、そうは行かなそうです。
そこで、こういうふうに考えるとうまくいきます。
「二つの関数の共有点の個数を求めたいなら、それを連立した方程式ax^2+bx+c=2x+1
の解の個数を求めるってことだよな。で、この解の個数は、判別式を使えば調べられるはずだから、＝0の形に変形しよう」って考えるわけです。
このような思考力は、付け焼き刃で身につくものではありません。
基礎を理解しているつもりなのに問題演習で手が動かなくなる人は、この答えに辿り着くまでのプロセスを導き出す訓練が足りてないのです。
ですから、まずは基本レベルの問題演習に取り組むことで、解法を逆算する練習を重ねていきましょう。
ちなみに「逆算しても解法が分からない」「問題を見ただけで頭が真っ白になる」という人は、まず問題の条件を余白などに書き出して整理してみてください。
文章ではなく、一目で内容が掴めるようにグラフや図を書いて可視化すると、何が必要なのか少しずつ見えてくるはずです。
これは、複雑な問題であるほど使えるテクニックです。
一方で、基本問題の場合は解法パターンを使うだけでシンプルに解けるものがほとんどです。
そのため、基本問題でつまずく場合は、繰り返し解き直すことで解法パターンとして覚えられます。
後ほど説明しますが、数学力を伸ばす上で解き直しは非常に重要です。
基本問題は5分考えても分からなければ答えを見て構いません。
解説を読みながら、解き方を覚えるようにしてください。
繰り返しですが、ただの暗記ではなく、根本から理解して納得した上で覚えるようにしましょう。
解き間違えた要因を分析する
4つ目は、解き間違えた要因を分析をすることです。
これは意外とやっていない人が多いので差がつくステップになります。
まず、皆さんが問題を間違えてしまう要因は主に3つです。
- ケアレスミスをしてしまった
- 公式を覚えていなかった
- 解法が分からなかったから
1つずつ説明していきますね。
ケアレスミス
ケアレスミスは仕方がないものと捉えている人もいるかもしれませんが、それだと模試や入試など重要な試験で点を落としてしまいます。
特に入試は数点の失点が合否に大きく影響する世界。
ケアレスミスが原因で不合格になってしまうのは絶対避けたいですよね。
「じゃあどうすれば良いの？」という方、安心してください。
結論から言えば、自分がしやすいミスの傾向を抑えることで、ケアレスミスは対策できます。
具体例で説明しましょう。例えば、方程式を解くときの符号ミス。
移項のときに符号を間違えやすいのなら、移項を省略せずに書くことで確実にミスを減らせます。
面倒だと思う人もいるかもしれませんが、ケアレスミスを防ぐためには不可欠の作業です。
ケアレスミスは意気込みだけで減らせるものではありません。
このように具体的な対策を立てて、失点のリスクを減らしましょう。
公式を覚えていなかった
この場合は、解き直しの時点でノートに簡潔にまとめるようにしてみてください。
その際に
- その公式がどんな意味を持つの
- どんな問題で使えるのか
を必ず理解しておくようにしましょう。
これを続けていくと、しっかり定着していない公式がノートにまとまっていくので、毎回そのノートで勉強を始めるたびに確認していけば、自然と公式を覚えられるようになるはずです。
解法が分からなかった
解法が分からなかった場合は、模範解答を熟読し、解法を思いつくまでの思考プロセスを理解するようにしてください。
このとき、単に模範解答を読むだけでは意味がありません。
自力で導けるように、
- どうしたらその解答方針を思いつくのか
- どういう考え方でその式変形をしているのか
などの、思考プロセスを1つずつ押さえましょう。
この作業は非常に重要なので、時間がかかっても大丈夫です。
心の底から理解できたという状態を目指してください。
それぞれの原因に対して適切なアプローチを行うことで、同じミスで2度と間違えないように対策できます。
解き直しをする
5つ目は、解き直しをすることです。
3つ目の「解法を逆算する練習をする」でも触れましたが、数学に限らず解き直しは非常に重要な学習プロセスです。
ここを無視して手当たり次第に問題を解いたとしても、学力はなかなか伸びません。
それどころか「なんでこんなに一生懸命勉強しているのに成績が上がらないんだろう」と悩むことになります。
「解き直しってどうやってやればいいの？」という人に向けて、ここでは解き直しの方法を紹介します。
まず、解き直しの対象は演習のときに間違えた問題です。
答え合わせの段階で、間違えた問題にチェックをつけておくと、解き直しに取り組みやすくなります。
ちなみに、解き直しには2種類の方法があります。
1つは、解説を読んで理解できたらその場で解説を閉じて1から解き直す方法です。
もう1つは、時間を空けて解き直す方法です。
僕はこれまで1000人以上の方の受験相談に乗ってきましたが「その場で理解したけどテストで解けない」という人に限って「その場で解説を閉じて1から解き直す方法」をやっていませんでした。
そもそも解説を見たその場で「解けた」という状態になってないのに、数日後に見て解けるはずがないですよね。
そして「解説を読んで理解できたらその場で解説を閉じて1から解き直す方法」をやらないと「時間を空けて解き直す方法」を何回繰り返したところで、テストで解けるようにはなりません。
ですから、答え合わせで解答と解説を確認したら、もう一度その場で問題演習に取り組んでみてください。
最初に解いたときの記憶が残っているうちに解き直しをすることで「解ける」感覚が掴めます。
問題演習の目的は、自分ができない問題を探すことであり、そこで完璧にできなくても落ち込む必要はありません。
なので、答え合わせのときに間違えた理由を分析し、解き直しのときに改めて1から解答を導けるように演習してみてください。
応用問題に取り組む
ラストの6つ目は、応用問題に取り組むことです。
ここまで紹介した5つのステップを確実にこなしていれば、問題演習のときに解法を逆算して答えを導き出せるようになっているはずです。
その域に到達すれば、もう数学が苦手な状態からは脱却しています。
ですから、今度は模試や入試で得点源になるように、応用問題の演習に取り組んでいきましょう。
ただし、応用問題といってもいきなり過去問を解くのはおすすめしません。
なぜなら、過去問は応用力を身につけるのではなく、傾向の理解や入試本番のペース配分を目的に使うべきだからです。
応用問題演習で使うのは、入試標準レベルの問題集がおすすめです。
使う問題集は現在の学力や志望校によって異なりますが、標準問題精講などが代表的なものとして挙げられます。
問題集を用意したら、いよいよ演習です。
応用問題に取り組む際は、解法プロセスがすぐに思いつかなくても10分以上は考えるようにしてください。
入試レベルの問題の場合、パッと解法が浮かぶものはほとんどありません。
ですから、分からなくてもすぐに答えを見るのではなく、手持ちの武器を使って答えにたどり着く努力をすることが重要なのです。
解き方を覚えるというよりも、どうやったらその解き方を思いつくかを考えるようにしてください。
そして、答え合わせのときに気をつけることは2つです。
解答を丸写ししないことと、解けなかった要因を分析することです。
これらは、4つ目の解き間違えた要因を分析をすることと5つ目の解き直しをすることと重なる部分でもありますが、入試レベルの問題も通常の問題演習と同様に、丸つけの後のプロセスが非常に大切になります。
まず、模範解答を丸写ししても数学力は伸びません。
解答の方針と思いつくまでのプロセスを理解しなければ、似たような問題が出題されたときに手も足も出なくなってしまうからです。
解答と解説を確認したら、もう一度その場で解き直してみましょう。
途中で分からなくなったときに、模範解答をチラ見して方針を思い出す分には構いません。
もう一つは、基本問題と同様に解けなかった原因を分析することです。
ミスの要因としては、4つ目で紹介したケアレスミスをしてしまった、公式を覚えていなかった、方式が分からなかったのどれかが想定されるケースがほとんどです。
自分の解答を見直すことでミスの原因を分析し、どのような対策ができるか考えてみてください。
東大毎日塾
うっちー
ケアレスミスは大変もったいないので、しっかりと対策をしていきましょう！
まとめ
本記事では、「数学力が伸びる学習法」を紹介しました。
数学力が伸びる学習法は6つのステップに分けられます。
- 基礎を身につける
- 解法パターンを抑える
- 解法を逆算する練習をする
- 解き間違えた要因を分析する
- 解き直しをする
- 応用問題に取り組む
基礎で解法パターンを抑えてから問題演習で使い方を実践すること、間違えた要因を分析することで、数学力が飛躍的に伸びるようになります。
これらの学習方法を知らずに、「とりあえず机に向かう時間を増やす」「いろんな問題集に手をだす」などの根性論でなんとかしようとしても、学習効率が下がってしまうだけなので避けましょう。
数学力は、正しい学習法を継続することで確実に上がっていきます。
本記事で学んだ学習法を実践することで、定期テストや模試、入試などの大事な場面で確実に得点できる数学力が身につくこと間違いなしです。
ぜひ、今回説明した学習法を実践してみてくださいね。
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